Е. А. Чекменёва¹, Т. С. Хачкова², В. В. Лисица²

¹Новосибирский государственный университет (г. Новосибирск. Российская Федерация)

²Институт математики СО РАН (г. Новосибирск. Российская Федерация)

Аннотация. В статье рассматривается способ построения предобуславливателя, основанного на методах машинного обучения, для его применения к численному решению уравнения Пуассона при моделировании пористых сред. При решении задачи используется итерационный метод сопряженных градиентов. Для предобуславливания системы линейных алгебраических уравнений предлагается аппроксимировать обратный оператор Лапласа с помощью сверточной нейронной сети архитектуры U-net. Рассматриваются два альтернативных подхода к формированию обучающего набора данных для нейронной сети. Первый метод основан на использовании пар векторов и результатов применения оператора Лапласа к ним. Во втором методе пары для обучения представляют собой векторы невязок, полученные при реализации метода сопряжённых градиентов, и результаты применения оператора Лапласа к ним. При этом процесс обучения нейронной сети основан на минимизации относительной ошибки по норме $L^2$. Показано, что при применении каждого из представленных методов обучения нейронная сеть архитектуры U-net с пятью сверточными слоями обеспечивает недостаточную точность аппроксимации обратного оператора Лапласа для сокращения количества итераций в применяемом методе сопряжённых градиентов. Поэтому построенный модифицированный метод сопряженных градиентов стабилизируется и обладает неустранимой невязкой.

Ключевые слова: уравнение Пуассона, метод сопряжённых градиентов, прсдобуслав- ливатель, машинное обучение

Для цитирования: Чекменёва Е. А., Хачкова Т. С., Лисица В. В. Предобуславливатель на основе машинного обучения для решения уравнения Пуассона // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 2. С. 83–98. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202602.83-98

Информация об авторах:

Чекменёва Екатерина Антоновна, студент Новосибирского государственно­ го университета (630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, д. 2), ORCID: https://orcid.org/0009-0003-8509-0534, e.chckmcneva@g.nsu.ru

Хачкова Татьяна Станиславовна, кандидат физико-математических наук, стар­ший научный сотрудник Института математики СО РАН (630090, Россия, г. Новоси­бирск, проси. Академика Коптюга, 4), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1595-7142, hachtanyа@mail.ru

Лисица Вадим Викторович, доктор физико-математических наук, заведую­щий лабораторией Института математики СО РАН (630090, Россия, г. Новосибирск, просп. Академика Коптюга, 4), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3544-4878, v.v.lisitsa@math.nsc.ru