П. Е. Маковеева, А. В. Егоров

Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург, Российская Федерация)

Аннотация. В работе к линейному уравнению параболического типа с однородными граничными условиями применяется метод функционалов Ляпунова. В рамках этого подхода строится функционал, производная которого вдоль решений системы представляет собой заданную отрицательно определённую квадратичную форму. Ключевую роль в построении функционала играет матрица Ляпунова, исследованию которой посвящена значительная часть работы. В статье предложены два определения данной матрицы. Первое основано на представлении ее в виде ряда. Второе, альтернативное, связывает матрицу Ляпунова с функцией Грина для соответствующего стационарного уравнения. Показана совместимость предложенных определений и доказано, что любая функция, удовлетворяющая второму определению, одновременно удовлетворяет и первому, что подтверждает согласованность двух подходов. Важным преимуществом второго определения является его конструктивность: оно позволяет получить явное аналитическое выражение для матрицы Ляпунова при произвольных параметрах краевой задачи. Кроме того, показано, что данный подход даёт возможность строить функционалы с заданной производной без требования экспоненциальной устойчивости, что существенно расширяет область его применения.

Ключевые слова: матрица Ляпунова, уравнение параболического типа, функционал Ляпунова, функционал с заданной производной, экспоненциальная устойчивость

Для цитирования: Маковеева П. Е., Егоров А. В. Построение функционала по заданной производной для линейного уравнения параболического типа с однородными граничными условиями // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 1. С. 31–47. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202601.31-47

Информация об авторах:

Маковеева Полина Евгеньевна, аспирант факультета прикладной математики – процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет (199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9), ORCID: https://orcid.org/0009-0006-2846-4829, p.e.makoveeva@spbu.ru

Егоров Алексей Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории управления, Санкт-Петербургский государственный университет (199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7671-2467, alexey.egorov@spbu.ru