О. Е. Галкин, С. Ю. Галкина, И. Ю. Ястребова

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, играют важную роль в теории и практике использования численных методов. С их помощью можно решать задачи оптимизации свойств различных вычислительных алгоритмов. Наша работа посвящена изучению многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на луче $[0,+\infty)$ в экспоненциальной норме. Экспоненциальная норма для любого $\alpha>0$ и любого бесконечного подмножества $K\subset\mathbb{R}$ определяется равенством $\|P\|_{\alpha,K} = \sup \limits_{x\in K} e^{-|x|^\alpha}|P(x)|$. В настоящей статье мы обсуждаем вопрос о существовании, единственности и характеризации многочленов, наименее уклоняющихся от нуля по экспоненциальной норме $\|\cdot\|_{\alpha,[0;+\infty)}$, выводим систему уравнений, которым должны подчиняться такие многочлены, переформулируем для нормы $\|\cdot\|_{\alpha,[0;+\infty)}$ результаты Мхаскара и Саффа 1984 года, полученные ими для нормы $\|\cdot\|_{\alpha,\mathbb{R}}$. Далее мы приближенно вычисляем многочлены первой и второй степени, наименее уклоняющиеся от нуля по норме $\|\cdot\|_{1,[0;+\infty)}$, и получили (если ограничиться тремя цифрами после запятой), что они имеют вид $x-0.279$ и $x^2-1.620x+0.217$ соответственно. Применённый нами метод является альтернативным по отношению к алгоритму Ремеза. При вычислениях мы используем принцип сжимающих отображений, метод Ньютона и метод Галлея. Полученные нами результаты проиллюстрированы графиками.

Ключевые слова: экспоненциальная норма, многочлен наилучшего приближения, теорема Бернштейна-Чебышёва

Для цитирования: Галкин О. Е., Галкина С. Ю., Ястребова И. Ю. О некоторых свойствах многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на положительной полуоси по экспоненциальной норме // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 1. С. 11–30. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202601.11-30

Информация об авторах:

Галкин Олег Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: http://orcid.org/0000-0003-2085-572X, olegegalkin@ya.ru

Галкина Светлана Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2476-2275, svetlana.u.galkina@mail.ru

Ястребова Ирина Юрьевна, старший преподаватель кафедры прикладной математики, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (603022, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), ORCID: https://orcid.org/0009-0009-5991-7466, yastrebova@unn.ru