Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
ISSN 2079-6900 (Print) 
ISSN 2587-7496 (Online)

Middle Volga Mathematical Society Journal

DOI 10.15507/2079-6900.25.202302.62-75

Оригинальная статья

ISSN 2079-6900 (Print)

ISSN 2587-7496 (Online)

УДК 517.938

О сведении проблемы топологической классификации градиентно-подобных потоков к классификации полярных потоков

И. А. Сараев

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В статье рассматривается класс G(Mn) градиентно-подобных потоков на связных замкнутых многообразиях размерности n4, такой что для любого потока ftG(Mn) устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия размерности (n1) не пересекаются с инвариантными многообразиями других седловых состояний равновесия. Известно, что несущее многообразие любого потока ft из класса G(Mn) раскладывается в связную сумму сферы Sn, gft0 копий прямых произведений Sn1×S1 и односвязного многообразия, отличного от сферы. Число gft определяется только числом узловых состояний равновесия и числом седловых состояний равновесия, одно из инвариантных многообразий которых имеет размерность (n1) (такие состояния равновесия будем называть тривиальными седлами), а односвязное многообразие, отличное от сферы, присутствует в связной сумме тогда и только тогда, когда множество седловых состояний равновесия содержит точки, размерность неустойчивого многобразия которых принадлежит множеству {2,,n2} (такие состояния равновесия будем называть нетривиальными седлами). Более того, для потоков из класса G(Mn) без нетривиальных седел имеется полная топологическая классификация. В настоящей работе доказывается, что для любого потока ftG(Mn) разбиение несущего многообразия на связную сумму можно осуществить по попарно непересекающимся гладко вложенным сферам (разбивающим сферам), не содержащим состояний равновесия потока ft и трансверсально пересекающим его траектории. Ограничение потока ft на дополнения до этих сфер однозначно (с точностью до топологической эквивалентности и нумерации) определяет конечный набор потоков ft1,,ftl, заданных на компонентах связной суммы. Более того, для любого j{1,,l}, множество седловых состояний равновесия потока ftj либо состоит только из тривиальных седел, либо только из нетривиальных, и тогда поток ftj является полярным. Мы вводим понятие согласованной топологической эквивалентности для потоков ft1,ftl и показываем, что потоки ft,ftG(Mn) топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого из этих потоков существуют наборы разбивающих сфер, определяющих согласованно топологически эквивалентные потоки на компонентах связной суммы.

Ключевые слова: градиентно-подобные потоки, многообразие, топологическая классификация, потоки Морса-Смейла, функция Морса

Для цитирования: Сараев И. А. О сведении проблемы топологической классификации градиентно-подобных потоков к классификации полярных потоков // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 2. С. 62–75. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202302.62-75

Поступила: 12.02.2023; доработана после рецензирования: 10.04.2023; принята к публикации: 25.05.2023

Информация об авторе:

Сараев Илья Александрович, студент факультета информатики, математики и компьютерных наук, стажер-исследователь лаборатории «Динамические системы и приложения», Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печёрская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7608-2634, isaraev@hse.ru

Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.

Конфликт интересов: автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Creative Commons Attribution 4.0 International License Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.