УДК 519.63
Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси
И. В. Бойков1, П. В. Айкашев2, А. И. Бойкова3
| Аннотация | В работе исследованы приближенные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси. Рассматриваются уравнения, имеющие особенности второго порядка, т. к. уравнения с такими сингулярностями находят широкое применение при моделировании проблем в естествознании и технологиях. Для решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений предложены три вычислительные схемы. Первая основана на технологии метода механических квадратур. В качестве базисных выбираются рациональные функции. Вторая вычислительная схема основана на сплайн-коллокационном методе со сплайнами первого порядка. В третьей вычислительной схеме используются сплайны нулевого порядка. При обосновании и реализации вычислительных схем используется непрерывный метод решения операторных уравнений. Его применение позволяет ослабить требования, налагаемые на исходное уравнение: достаточно потребовать его разрешимости при данной правой части. Непрерывный операторный метод основан на Ляпуновской теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и это обуславливает его устойчивость к возмущениям коэффициентов и правых частей. Приближенные методы решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений изложены на примере уравнения Пейерлса-Наборро, моделирующего ряд задач теории дислокаций. Для решения этого уравнения построены, по аналогии с линейными гиперсингулярными интегральными уравнениями, три вычислительные схемы. Их обоснование и реализация основаны на непрерывном методе решения операторных уравнений. На примере решения уравнения Пейерлса-Наборро продемонстрирована эффективность предложенных численных методов. |
|---|---|
| Ключевые слова | линейные и нелинейные гиперсингулярные интегральные уравнения, непрерывный операторный метод, метод коллокации, метод механических квадратур |
1Бойков Илья Владимирович, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), доктор физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-6980-933X, boikov@pnzgu.ru
2Айкашев Павел Владимирович, ассистент кафедры высшей и прикладной математики, ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8076-4662, aikashev.pavel@mail.ru
3Бойкова Алла Ильинична, доцент кафедры высшей и прикладной математики, ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), кандидат физико-математических наук, ORCID: 0000-0003-0436-0460, allaboikova@mail.ru
Цитирование: Бойков И. В., Айкашев П. В., Бойкова А. И. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси // Журнал Средневолжского математического общества. 2020. Т. 22, № 4. С. 405–423.
DOI 10.15507/2079-6900.22.202004.405-423
