УДК 517.9
О глобальной динамике в уравнении Дуффинга при квазипериодическом возмущении
Т. Н. Драгунов1, К. Е. Морозов2, А. Д. Морозов3
| Аннотация | Рассмотрено уравнение Дуффинга с малым возмущением, содержащим автономную неконсервативную часть, аналогичную уравнению Ван дер Поля, и двухчастотную квазипериодическую составляющую с иррациональным соотношением частот. Применены методы анализа резонансных зон с помощью процедуры усреднения и анализа поведения решений в области сепаратрисы невозмущенной системы с помощью аналога формулы Мельникова. Установлено, что число «частично проходимых» резонансных уровней конечно, а качественное поведение решений системы в окрестности остальных резонансных уровней определяется автономной частью возмущения. Проанализировано поведение решений, соответствующих предельному циклу в автономной системе. Приведены иллюстрации качественного поведения решений усредненной системы при прохождении предельного цикла, отвечающего трехмерному тору исходной системы, через окрестности резонансных уровней. В случае невозмущенной системы с петлей сепаратрисы с помощью метода Мельникова установлено условие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седлового решения, приводящего к существованию двоякоасимптотических решений и нерегулярной динамике в окрестности невозмущенной сепаратрисы. Проведенное исследование позволяет сделать выводы о глобальном поведении решений. |
|---|---|
| Ключевые слова | динамические системы на плоскости, квазипериодическое возмущение, резонансы, формула Мельникова, метод Мельникова, уравнение Дуффинга, глобальная динамика |
1Драгунов Тимофей Николаевич, доцент кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа, ФГАУО ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), кандидат физико-математических наук, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0428-1850, dtn@mm.unn.ru
2Морозов Кирилл Евгеньевич, ассистент кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа, ФГАУО ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9089-6813, kirwamath@gmail.com
3Морозов Альберт Дмитриевич, профессор кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа, ФГАУО ВО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), доктор физико-математических наук, профессор, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3467-6319, morozov@mm.unn.ru
Цитирование: Драгунов Т. Н., Морозов К. Е., Морозов А. Д. О глобальной динамике в уравнении Дуффинга при квазипериодическом возмущении // Журнал Средневолжского математического общества. 2020. Т. 22, № 2. С. 164–176.
DOI 10.15507/2079-6900.22.202002.164-176
