М. В. Сотникова, А. С. Томилова, Т. А. Лепихин

Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург, Российская Федерация)

Аннотация. В настоящее время синтез линейных квадратичных регуляторов (LQR-регуляторов) является одним из наиболее значимых и широко используемых на практике методов построения оптимальных стабилизирующих регуляторов. Данный метод гарантирует асимптотическую устойчивость замкнутой системы, то есть расположение корней её характеристического полинома в открытой левой полуплоскости комплексной плоскости. В данной работе предлагается расширение возможностей классического LQR-синтеза. Именно, рассматривается задача поиска оптимального линейного регулятора, минимизирующего квадратичный функционал качества, с дополнительным ограничением на область расположения корней характеристического полинома замкнутой системы. В качестве такой области вводится сектор в левой полуплоскости комплексной плоскости, что позволяет влиять на показатели качества переходных процессов в замкнутой системе, например, на длительность и колебательность. Осуществлена параметризация области расположения корней с помощью векторов евклидова пространства. Показано, что поставленная задача параметрического синтеза о поиске оптимального регулятора с учетом модальных ограничений сводится к форме безусловной минимизации. Разработан вычислительный алгоритм поиска оптимального регулятора, опирающийся на решение линейного матричного уравнения Ляпунова на каждой итерации метода оптимизации, но не требующий решения нелинейного уравнения Риккати. Рассмотрен вопрос о поиске весовых матриц квадратичного функционала в задаче синтеза LQR-регулятора без ограничений, соответствующих найденному оптимальному регулятору в задаче с модальными ограничениями. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы практическим примером управления курсом морского судна.

Ключевые слова: линейный регулятор, квадратичный функционал, модальные oгpaничения, матричное уравнение Ляпунова, безусловная оптимизация, морское судно

Для цитирования: Сотникова М. В., Томилова А. С., Лепихин Т. А. Синтез оптимальных линейных регуляторов с ограничением на область расположения корней // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 2. С. 47–61. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202602.47-61

Информация об авторах:

Сотникова Маргарита Викторовна, доктор физико-математических наук, профес­сор кафедры компьютерных технологий и систем, Санкт-Петербургский государственнный университет (199034, Россия, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9), ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0726-7448, m.sotnikova@spbu.ru

Томилова Анастасия Сергеевна, аспирант кафедры компьютерных технологий и систем, Санкт-Петербургский государственный университет (199034, Россия, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9), ORCTD: http://orcid.org/0000-0001-8074-754X, nt4815@gmail.com

Лепихин Тимур Андреевич, кандидат физико-математических наук, ассистент, Санкт-Петербургский государственный университет (199034, Россия, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7–9), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-5218-8250, t.lepihin@spbu.ru