Д. М. Одинабеков

Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в городе Душанбе

Аннотация. Работа посвящена исследованию двумерных сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами, заданных на ограниченных областях комплексной плоскости и имеющих важное значение для решения широкого круга задач математической физики, теории краевых задач и функционального анализа. Актуальность исследования обусловлена необходимостью разработки эффективных методов анализа свойств таких операторов, включая вопросы их разрешимости и получения формул для вычисления их индексов. Основы общей теории многомерных сингулярных интегральных операторов на неограниченных областях были заложены в работах С.Г.~Михлина. Для двумерных операторов с ненулевым символом существенную роль играет аппарат теории Фредгольма. В случае, когда сингулярные интегральные операторы рассматриваются на ограниченных областях, разрешимость возникающих уравнений существенно зависит от геометрических и аналитических характеристик границы области. Поэтому в данной работе исследуются двумерные сингулярные интегральные операторы, заданные на ограниченных областях. Для изучения рассматриваемого класса операторов используется схема исследования, предложенная Р. Дудучавой, позволяющая свести исходную задачу к анализу соответствующей краевой задачи Римана. При исследовании полученной задачи Римана применяется метод Б. Боярского, основанный на построении специальной матричной функции и разбиении множества полиномиальных матриц на гомотопические классы. Такой подход обеспечивает возможность детального изучения структуры операторов и их спектральных характеристик. В работе для рассматриваемого класса операторов в пространствах Лебега установлены эффективные критерии нетеровости, выраженные через явные условия на коэффициенты операторов. Кроме того, получены формулы для вычисления индексов, что позволяет определять основные фредгольмовы свойства операторов и исследовать условия существования и единственности решений соответствующих интегральных уравнений.

Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, индекс оператора, символ оператора, нетеровость оператора

Для цитирования: Одинабеков Д. М. Нетеровость и вычисление индекса двумерных сингулярных интегральных операторов в ограниченной области // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 2. С. 11–27. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202602.11-27

Информация об авторе:

Одинабеков Джасур Музофирович, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой математики и естественных наук филиала МГУ им. М.В. Ломоносова в городе Душанбе (734003, Таджикистан, Душанбе, ул. Бохтар, 35/1), ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3002-281X, jasur - 79@inbox.ru