П. А. Шаманаев¹, Д. А. Катин², Н. В. Ошина²

¹Научно-технологический университет «Сириус» (федеральная территория «Сириус», Российская Федерация)

²Национальный исследовательский Мордовский государственный университет (г. Саранск, Россия)

Аннотация. Исследуются продольные колебания неоднородной цепочки линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил. Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения. Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе. Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы. Для построения точного периодического решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова--Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора. Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна $1$ или $2$. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения. Показано, что при длине обобщенной жордановой цепочки, равной $1$, и стремлении малого параметра $\varepsilon$ к нулю периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы. Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна $2$, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке $\varepsilon=0$, а при $\varepsilon=0$ переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы. Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.

Ключевые слова: цепочка связанных линейных осцилляторов, вынужденные периодические колебания, амплитуда колебаний, резонанс, метод Ляпунова-Шмидта, обобщенный жорданов набор

Для цитирования: Шаманаев П. А., Катин Д. А., Ошина Н. В. Исследование вынужденных колебаний в неоднородной цепочке линейных осцилляторов методом Ляпунова-Шмидта // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 4. С. 471–487. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202504.471-487

Информация об авторах:

Шаманаев Павел Анатольевич, к.ф.-м.н., ведущий инженер-исследователь направления «Математическая робототехника», Научно-технологический университет «Сириус» (354340, Россия, Федеральная территория «Сириус», Олимпийский проспект, д. 1), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0135-317X, korspa@yandex.ru

Катин Дмитрий Александрович, магистрант факультета математики и информационных технологий, МГУ им. Н. П. Огарёва (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), ORCID: https://orcid.org/0009-0004-9193-3590, dmitriykatinn@gmail.com

Ошина Наталья Владиславовна, магистрант факультета математики и информационных технологий, МГУ им. Н. П. Огарёва (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), ORCID: https://orcid.org/0009-0004-9193-3590, natali.oshina@mail.ru