Р. В. Жалнин, М. С. Нефедов, С. Х. Зинина

МГУ им. Н. П. Огарёва (г. Саранск, Российская Федерация)

Аннотация. В статье рассматривается многосеточный метод с полной аппроксимацией для разрывного метода Галёркина с неявной дискретизацией по времени. Целью исследования является применение данного метода для эффективного решения задач, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Разработан вычислительный алгоритм, который реализует многосеточный метод с полной аппроксимацией с применением метода Ньютона и усовершенствованного метода Ньютона-Крылова для решения возникающих нелинейных уравнений на каждом уровне сетки многосеточного метода. Такой подход позволяет существенно повысить эффективность алгоритма и сократить количество необходимых вычислительных ресурсов. Проведены численные эксперименты с применением обоих подходов к уравнению Хопфа. Исследовано влияние регуляризирующего параметра и числа Куранта на скорость сходимости внешних итераций метода Ньютона. Экспериментально показано, что использование метода Ньютона-Крылова значительно улучшает общую производительность вычислительного процесса по сравнению с традиционным методом Ньютона, хотя оба подхода демонстрируют схожий порядок сходимости, приближающийся ко второму порядку при применении квадратичных базисов.

Ключевые слова: многосеточный метод, FAS, разрывный метод Галёркина, неявная дискретизация по времени, h-мультигрид, p-мультигрид, метод Ньютона-Крылова

Для цитирования: Жалнин Р. В., Нефедов М. С., Зинина С. Х. Применение многосеточного метода с полной аппроксимацией для решения одномерных нелинейных уравнений в частных производных разрывным методом Галёркина // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 4. С. 435–450. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202504.435-450

Информация об авторах:

Жалнин Руслан Викторович, канд. физ.-мат. н., декан факультета математики и ИТ, МГУ им. Н. П. Огарёва (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1103-3321, zhrv@mrsu.ru

Нефедов Михаил Сергеевич, аспирант кафедры прикладной математики, МГУ им. Н. П. Огарёва (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ORCID: https://orcid.org/0009-0002-7347-2191, snef7@yandex.ru

Зинина Светлана Халиловна, канд. мат. н., доцент кафедры прикладной математики, МГУ им. Н. П. Огарёва (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3002-281X, zininaskh@math.mrsu.ru