А. Н. Сахаров

Нижегородский государственный аграрно-технологический университет им. Л. Я. Флорентьева (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В настоящей статье строится класс специальных потоков на многомерном торе и топологический инвариант таких потоков -- множество вращения. Такие потоки возникают в процессе приведения к треугольному виду линейных систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. В процессе такого приведения получается система нелинейных дифференциальных уравнений на многомерном торе, которая порождает проективный поток, индуцируемый исходной линейной системой. В работе строится алгоритм SO$(n)$-расширения квазипериодической линейной системы. При этом используются известные результаты из теории матричных групп и алгебр Ли. Полученная система уравнений допускает понижение порядка, что позволяет записать правые части в виде тригонометрических полиномов от углов Эйлера на сфере. Случай $n=3$ рассматривается отдельно. Уравнения, определяющие проективный поток, записываются в явном виде. Проективный поток определен на торе размерности $m+2$, где $m$ -- размерность исходного тора. Структура этого потока определяется топологическими инвариантами потока. Например, неособый поток на двумерном торе имеет топологический инвариант -- число вращения (А. Пуанкаре). Используя метод М. Эрмана, удается доказать существование и единственность вектора вращения $(\rho_1,\rho_2)$ для проективного потока на $\T^{m+2}$. С помощью теории С. Шварцмана определения множества вращения для потоков на компактных метрических пространствах показывается, что компонента $\rho_2=0$. Здесь используется факт, что размерность максимальной торической подалгебры алгебры so$(3)$ равна единице.

Ключевые слова: линейные расширения, групповое расширение, проективное расши- рение, торическая подалгебра, вектор вращения, асимптотические циклы

Для цитирования: Сахаров А. Н. Множества вращения SO(3)-расширений квазипериодических потоков // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 2. С. 171–184. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202502.171-184

Информация об авторе:

Сахаров Александр Николаевич, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной механики, физики и высшей математики, Нижегородский государственный аграрно-технологический университет им. Л.Я. Флорентьева (603146, Россия, г. Ниж- ний Новгород, ул. Сибирцева, д. 10), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4520-8062, ansakharov2008@yandex.ru