С. В. Сидоров, Г. В. Уткин

ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государствен- ный университет им. Н. И. Лобачевского» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т. е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга 3 с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга 4 и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно 1, то эта матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка n и ранга n - 1 подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.

Ключевые слова: подобие матриц, обобщённая жорданова клетка, кольцо целых чи- сел, нильпотентная матрица, верхняя треугольная матрица

Для цитирования: Сидоров С. В., Уткин Г. В. О подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц 4-го и 5-го порядков обобщённой жордановой клетке // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 1. С. 69–80. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202501.69-80

Информация об авторах:

Сидоров Сергей Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и дискретной математики, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (603022, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2883-6427, sesidorov@yandex.ru

Уткин Герман Владимирович, лаборант-исследователь, исследовательский центр в сфере искусственного интеллекта, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (603022, Россия, г. Ниж- ний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4794-2591, german.utkingu@gmail.com