В. О. Лукащук, С. Ю. Лукащук

ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий» (г. Уфа, Российская Федерация)

Аннотация. В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробно-дифференциальным уравнениям.

Ключевые слова: дробно-дифференциальное уравнение теплопроводности, дробная производная Герасимова–Капуто, малый параметр, допускаемая группа приближенных преобразований, приближенно-инвариантное решение

Для цитирования: Лукащук В. О., Лукащук С. Ю. Групповая классификация нелинейного уравнения теплопроводности с дробно-дифференциальным малым двухфазным запаздыванием // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 1. С. 49–68. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202501.49-68

Информация об авторах:

Лукащук Вероника Олеговна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высокопроизводительных вычислительных технологий и систем, ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий» (450076, г. Уфа, ул. Заки Валиди, д. 32), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3082-1446, voluks@gmail.com

Лукащук Станислав Юрьевич, докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры высокопроизводительных вычислительных технологий и систем, ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий» (450076, г. Уфа, ул. Заки Валиди, д. 32), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9209-5155, lsu@ugatu.su