С. В. Зелик, О. В. Починка, А. А. Ягилев

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Хорошо известно, что фрактальное множество не является подмногообразием объемлющего пространства. Однако фракталы возникают как инвариантные подмножества, даже в бесконечно гладких динамических системах; размерность Минковского служит в этом случае характеристикой сложности такого множества. Например, в момент потери устойчивости состоянием равновесия при бифуркции Андронова-Хопфа замыкание неособой траектории является параметрически заданной кривой фрактального типа. В настоящей работе вычислена фрактальная размерность таких кривых. Кроме того, исследовано двухпараметрическое семейство функций, размерность Минковского графиков которых варьируется в промежутке от 1 до 2. Полученный результат позволяет реализовать регулярную динамическую систему, замыкание двумерного устойчивого многообразия изолированной гиперболической точки которой может иметь размерность Минковского больше 2. Вычисление размерности графика основано на разбиении отрезка аргумента, его задающего, на две части. Размерность одной части графика при этом возможно оценить сверху с помощью непосредственного вычисления длины соответствующей кривой. Размерность другой оценивается сверху через площадь прямоугольника, в которой она лежит. Оценка размерности Минковского снизу основана на вычислении мощности $\varepsilon$-различимого множества точек графика.

Ключевые слова: размерность Минковского, покрытие множества, ε-различимое множество, бифуркация Андронова-Хопфа

Для цитирования: Зелик С. В., Починка О. В., Ягилев А. А. О размерности Минковского некоторых инвариантных подмножеств динамических систем // Журнал Средневолжского математического общества. 2024. Т. 26, № 1. С. 32–43. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.26.202401.32-43

Информация об авторах:

Зелик Сергей Витальевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник международной лаборатории динамических систем и приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4884-5040, s.zelik@surrey.ac.uk.

Починка Ольга Витальевна, доктор физико-математических наук, заведующий международной лаборатории динамических систем и приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6587-5305, olga-pochinka@yandex.ru.

Ягилев Андрей Александрович, студент факультета информатики, математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0009-0008-5088-8075, agilevandrej@gmai.com.