О. Е. Галкин, С. Ю. Галкина, А. А. Тронов

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Степенные функции Такаги $S_p$ по конструкции аналогичны непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции Такаги, описанной в 1903 г. Функции $S_p$ имеют один вещественный параметр $p>0$ и задаются на числовой прямой с помощью ряда $S_p(x) = \sum_{n=0}^\infty (S_0(2^nx)/2^n)^p$, где $S_0(x)$ — расстояние между точкой $x\in{\mathbb R}$ и ближайшей к ней целой точкой. Мы показываем, что при любом $p>0$ функции $S_p$ на $\mathbb R$ являются всюду непрерывными, но нигде не дифференцируемыми. Далее для степенных функций Такаги мы выводим функциональные уравнения. С их помощью можно, в частности, вычислять значения $S_p(x)$ в рациональных точках $x$. Кроме того, при всех значениях параметра $p$ из интервала $(0;1)$ мы находим глобальные экстремумы функций $S_p$, а также точки, где они достигаются. При этом оказывается, что глобальный максимум функций $S_p$ равен $2^p/(3^p(2^p-1))$ и достигается только в точках вида $(q+1/3)$ и $(q+2/3)$, где $q$ — произвольное целое число. Глобальный минимум функций $S_p$ равен $0$ и достигается только в целых точках. Используя результаты о глобальных экстремумах, мы получаем двусторонние оценки для функций $S_p$ и находим точки, в которых эти оценки достигаются.

Ключевые слова: степенная функция Такаги, непрерывность, нигде не дифференцируемость, функциональные уравнения, глобальный экстремум

Для цитирования: Галкин О. Е., Галкина С. Ю., Тронов А. А. О глобальных экстремумах степенных функций Такаги // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 2. С. 22–36. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202302.22-36

Информация об авторах:

Галкин Олег Евгеньевич, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0003-2085-572X, olegegalkin@ya.ru

Галкина Светлана Юрьевна, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2476-2275,svetlana.u.galkina@mail.ru

Тронов Антон Александрович, студент магистратуры факультета информатики, математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: http://orcid.org/0009-0000-6454-1226, tronovaa@yandex.ru