А. Э. Рассадин

Национальный исследовательский университет — Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В представленной статье исследуется нелинейная счётномерная система интегро-дифференциальных уравнений, вектором неизвестных у которой является счётное множество функций двух переменных. Эти переменные интерпретируются как пространственная координата и время. Нелинейность рассматриваемой системы сконструирована из двух одновременных свёрток, а именно, из свёртки в смысле функционального анализа и из свёртки в смысле линейного пространства двусторонних последовательностей. Начальное условие для этой системы является двусторонней последовательностью функций одного переменного, определённых на всей действительной оси. Сама система может быть записана в виде одного абстрактного уравнения в линейном пространстве двусторонних последовательностей, разрешённого относительно производной по времени, то есть как динамическая система. Решение этого абстрактного уравнения можно трактовать как аппроксимацию решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения, неизвестная функция которого зависит не только от времени, но и от двух пространственных переменных. В работе найдено общее представление точного решения исследуемой системы. Также даны два типа конкретных примеров точных решений этой системы. Первый из них демонстрирует пространственно-временное поведение колебательного характера, а второй тип решений ведёт себя во времени монотонно. В статье приведены типичные графики первых компонент этих решений. Более того, показано, что из этих точных решений в рамках некоторой процедуры можно сгенерировать счётное множество новых точных решений рассматриваемой системы. С точки зрения радиотехники эта процедура совпадает с процедурой повышения частоты дискретизации в цифровой обработке сигналов.

Ключевые слова: задача Коши, производящая функция, ряд Лорана, преобразование Фурье, функции Бесселя первого рода, модифицированные функции Бесселя

Для цитирования: Рассадин А. Э. Точные решения одной нелинейной счётномерной системы интегро-дифференциальных уравнений // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 1. С. 542–553. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202301.542-553

Информация об авторе:

Рассадин Александр Эдуардович, аспирант, Национальный исследовательский университет — Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5644-4012, brat_ras@list.ru