А. А. Ноздринов, А. И. Починка

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В настоящей работе рассматриваются градиентно-подобные диффеоморфизмы Морса-Смейла, заданные на трехмерной сфере $\mathbb S^3$. Для таких диффеоморфизмов полный инвариант топологической сопряженности получен в работах Х. Бонатти, В. Гринеса, В. Медведева, Е. Пеку. Он представляет собой класс эквивалентности набора гомотопически нетривиально вложенных торов и бутылок Клейна, вложенных в некоторое замкнутое 3-многообразие, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу $\mathbb Z$. Такой инвариант называется схемой градиентно-подобного диффеоморфизма $f:\mathbb S^3\to\mathbb S^3$. Авторами настоящего исследования выделен класс $G$ диффеоморфизмов, для которых полным инвариантом является более простой с топологической точки зрения объект, а именно зацепление существенных узлов в многообразии $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Рассматриваемые диффеоморфизмы определяются тем, что их неблуждающее множество содержит единственный источник, а замыкания устойчивых многообразий седловых точек ограничивают трехмерные шары с попарно не пересекающимися внутренностями. Доказано, что в дополнении к замыканию этих шаров диффеоморфизм класса $G$ содержит в точности одну неблуждающую точку, которая является неподвижным стоком. Установлено, что полным инвариантом топологической сопряженности диффеоморфизмов класса $G$ является пространство орбит неустойчивых седловых сепаратрис в бассейне этого стока. Показано, что пространство орбит представляет собой зацепление нестягиваемых узлов в многообразии $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$ и эквивалентность зацеплений равносильна эквивалентности схем. Также приведена реализация диффеоморфизмов рассмотренного класса по произвольному зацеплению, состоящему из существенных узлов в многообразии $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$.

Ключевые слова: диффеоморфизм Морса-Смейла, узел, зацепление, топологическая сопряженность, инвариант

Для цитирования: Ноздринов А. А., Починка А. И. Зацепление как полный инвариант 3-диффеоморфизмов Морса-Смейла // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 1. С. 531–541. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202301.531-541

Информация об авторах:

Ноздринов Алексей Александрович, аспирант кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1223-7334, lex87@bk.ru

Починка Арсений Ильич, студент факультета информатики, математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4408-8644, senya.pochinka@yandex.ru