А. В. Веденин

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Настоящая работа посвящена новому методу построения аппроксимаций к решению параболического дифференциального уравнения в частных производных. Рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой с переменным коэффициентом теплопроводности. Построена последовательность функций, которая сходится к решению этой задачи равномерно по пространственной переменной и локально равномерно по времени. Составляющие последовательность функции явно выражены через начальное условие и коэффициент теплопроводности, т.е. через функции, играющие роль параметров. При построении последовательности используются идеи и методы функционального анализа, а именно, теорема Чернова об аппроксимации операторных полугрупп, в силу чего построенные функции называются черновскими аппроксимациями. В большинстве ранее опубликованных работ норма разности между точным решением и черновской аппроксимацией с номером $n$ не превышает $const/n$. Аппроксимации, построенные в работе, являются быстро сходящимися, т. е. для них ошибка убывает быстрее $const/n$. Это следует из теоремы Галкина-Ремизова. Приведены ключевые формулы, явный вид построенных аппроксимаций и схемы доказательств. Полученные в настоящей статье результаты указывают путь к построению быстро сходящихся черновских аппроксимаций для более широкого класса уравнений.

Ключевые слова: задача Коши для уравнения теплопроводности, переменный коэффициент теплопроводности, аппроксимация решения, скорость сходимости к решению, однопараметрические полугруппы операторов, формула Чернова

Для цитирования: Веденин А. В. Быстро сходящиеся черновские аппроксимации к решению уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности // Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24, № 3. С. 280–288. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.24.202203.280-288

Информация об авторе:

Веденин Александр Владимирович, аспирант кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4035-7579, lcsndr@mail.ru