С. Х. Зинина¹, П. И. Починка²

¹ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (г. Саранск, Российская Федерация)

²Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. В настоящей статье вводится класс $G$ декартовых произведений грубых преобразований окружности, меняющих ориентацию, и изучается их динамика. Как известно из работы А. Г. Майера, неблуждающее множество меняющего ориентацию диффеоморфизма окружности состоит из $2q$ периодических точек, где $q$ – натуральное число. Поэтому декартово произведение двух таких диффеоморфизмов имеет $4q_1q_2$ периодических точек, где $q_1$ соответствует первому преобразованию, а $q_2$ – второму. Авторами описываются все возможные виды множества этих точек, состоящего из $2q_1q_2$ седловых точек, $q_1q_2$ стоков и $q_1q_2$ источников; при этом $4$ точки являются неподвижными, а остальные имеют период $2$. В теории гладких динамических систем весьма полезной является конструкция, позволяющая по данному диффеоморфизму $f$ многообразия построить поток на многообразии с размерностью на единицу большей; этот поток носит название надстройки над $f$. Авторами вводится понятие надстройки над диффеоморфизмами класса $G$, описываются всевозможные виды и число орбит надстройки. Кроме того, доказывается теорема о топологии многообразия, на котором задана надстройка: несущее многообразие рассматриваемых потоков гомеоморфно замкнутому 3-многообразию $\mathbb T^2 \times [0,1]/\varphi$, где $\varphi :\mathbb T^2 \to \mathbb T^2$. Основной результат работы гласит, что для топологической эквивалентности надстроек над диффеоморфизмами класса $G$ необходима и достаточна топологическая сопряженность диффеоморфизмов, над которыми берутся надстройки. Идея доказательства заключается в том чтобы показать, что из топологической эквивалентности двух надстроек $\phi^t$ и $\phi'^t$ следует топологическая сопряженность $\phi$ и $\phi'$.

Ключевые слова: грубые системы дифференциальных уравнений, грубые преобразования окружности, меняющие ориентацию преобразования окружности, декартово произведение преобразований окружности, надстройка над диффеоморфизмом

Для цитирования: Зинина С. Х., Починка П. И. Классификация надстроек над декартовыми произведениями меняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности // Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24, № 1. С. 54–65. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.24.202201.54-65

Информация об авторах:

Зинина Светлана Халиловна, аспирант кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3002-281X, kapkaevasvetlana@yandex.ru

Починка Павел Ильич, студент факультета информатики, математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6377-747X, pavel-pochinka@yandex.ru