УДК 517.95
Об одной оценке в пространстве Соболева, порождаемой вырождающимся эллиптическим оператором второго порядка, определённой в полуплоскости
Г. А. Смолкин1
| Аннотация | Рассматривается эллиптический оператор, который определен в полуплоскости и вырождается вдоль нормали к границе этой полуплоскости. Уточнены результаты, полученные автором ранее. Построено разбиение единицы двойственной переменной, позволяющее "заморозить" производные по ортогональному направлению к множеству вырождения и осуществить гладкое продолжение функции на всю плоскость. Показано, что это продолжение и "стандартное" продолжение, подробно изученное Л.Н. Слободецким, достаточно для получения необходимой априорной оценки. При этом неравенства доказываются при помощи преобразования Фурье по части переменных и неравенства Шварца. Установлено, что Соболевская норма производных второго порядка функции будет конечной, если ее сужение на границу полуплоскости и ее образ, порождающим действием на эту функцию изучаемым оператором принадлежат пространствам Соболева с показателями 3, 2 соответственно. Полученные результаты можно распространить на более широкий класс операторов, могут быть применены при изучении краевых задач для вырождающихся эллиптических и квазиэллиптических операторов, заданных в полупространствах. |
|---|---|
| Ключевые слова | вырождающийся эллиптический оператор, преобразование Фурье, пространства Соболева, априорные оценки |
1Смолкин Георгий Александрович, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО "МГУ им. Н. П. Огарёва" (430005, Россия, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68.), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-5964-9814, smolkinga@yandex.ru
Цитирование: Смолкин Г. А. Об одной оценке в пространстве Соболева, порождаемой вырождающимся эллиптическим оператором второго порядка, определённой в полуплоскости // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20, № 2. С. 206–214.
DOI 10.15507/2079-6900.20.201802.206-214
