УДК 517.9
Достаточные условия локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложение к устойчивости по части переменных
П. А. Шаманаев1, О. С. Язовцева2
| Аннотация | В статье получены достаточные условия локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущениями в виде векторных полиномов. Метод доказательства основан на построении в банаховом пространстве оператора, связывающего решения нелинейной системы и ее линейного приближения, и применении принципа Шаудера о неподвижной точке. Существование построенного оператора доказывается с использованием покомпонентных оценок элементов фундаментальной матрицы линейного приближения. Оператор позволяет построить отображение, устанавливающее соотношение между начальными точками исследуемой системы и ее линейного приближения. Приведены достаточные условия устойчивости (асимптотической устойчивости) нулевых решений локально покомпонентно асимптотически эквивалентных систем по Брауеру. В качестве приложения рассмотрена задача об устойчивости по части переменных множества положений равновесия системы нелинейных уравнений, соответствующей кинетической модели некоторых стадий компактной схемы реакции пиролиза пропана. Поставленная задача сводится к исследованию устойчивости тривиального положения равновесия нелинейной системы, совпадающей с исследуемой системой. Далее показано, что нелинейная система локально покомпонентно асимптотически эквивалентна по Брауеру её линейному приближению. С учётом того, что нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво по первым двум компонентам и имеет асимптотическое равновесие по остальным компонентам, делается вывод о том, что каждое положение равновесия исследуемой системы так же обладает этими свойствами. |
|---|---|
| Ключевые слова | нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауэру, принцип Шаудера о неподвижной точке, устойчивость по части переменных, химическая кинетика. |
1Шаманаев Павел Анатольевич, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО "МГУ им. Н. П. Огарёва" (430005, Россия, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68.), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0135-317X, korspa@yandex.ru
2Язовцева Ольга Сергеевна, аспирант кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО "МГУ им. Н. П. Огарёва" (430005, Россия, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68.), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-8075-4491, kurinaos@gmail.com
Цитирование: Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Достаточные условия локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложение к устойчивости по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19, № 1. С. 102–115.
DOI 10.15507/2079-6900.19.2017.01.102-115
