О. Е. Галкин¹, С. Ю. Галкина¹, О. А. Муляр²

¹Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

²Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет

Аннотация. Работа посвящена изучению одного класса вещественных функций, которые мы называем степенными функциями Такаги. Такие функции имеют один положительный вещественный параметр, являются непрерывными, но нигде не дифференцируемыми, и задаются на числовой прямой с помощью функционального ряда. Эти ряды аналогичны ряду, задающему непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию Такаги, описанную в 1903 г. При каждом значении параметра выведено функциональное уравнение для функций, связанных со степенными функциями Такаги. Затем с помощью этого уравнения получена точная двусторонняя оценка для изучаемых функций. Доказано, что при значениях параметра, не превосходящих 1, степенные функции Такаги удовлетворяет логарифмическому условию Гёльдера, и найдено наименьшее значение константы в этом условии. В результате получено обычное условие Гёльдера, которое вытекает из логарифмического условия Гёльдера. Более того, при значениях параметра, лежащих в пределах от 0 до 1, исследовано поведение степенных функций Такаги в окрестности точек их глобального максимума. Доказано, что в двоично-рациональных точках, и только в них, изучаемые функции достигают строгого локального минимума на числовой оси. В завершение описано множество точек, в которых функции достигают строгого локального максимума. Преимущество нашего исследования состоит в развитии ряда методов, применимых к непрерывным, нигде не дифференцируемым функциям. Это может позволить значительно расширить множество изучаемых функций.

Ключевые слова: степенная функция Такаги, функциональное уравнение, локальные экстремумы, логарифмическое условие Гёльдера

Для цитирования: Галкин О. Е., Галкина С. Ю., Муляр О. А. О логарифмической гёльдеровости и локальных экстремумах степенных функций Такаги // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 4. С. 223–241. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202304.223-241

Информация об авторах:

Галкин Олег Евгеньевич, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0003-2085-572X, olegegalkin@ya.ru

Галкина Светлана Юрьевна, доцент кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2476-2275, svetlana.u.galkina@mail.ru

Муляр Ольга Александровна, преподаватель кафедры алгебры, геометрии и дискретной математики, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.,И. Лобачевского (603022, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0009-0008-2263-4203, olga.mulyar@itmm.unn.ru