А. Н. Тында, Д. Р. Вечкасов

ФГБОУ ВО Пензенский государственный университет (г. Пенза, Российская Федерация)

Аннотация. Работа посвящена исследованию уравнений Вольтерра с интегральным оператором, содержащим след искомого решения в виде его значений в некоторых точках множества. К уравнениям с нагрузками сводится ряд классических краевых задач эллиптического, гиперболического, параболического, а также смешанного типа. В частности, краевая задач Гурса для уравнения гиперболического типа эквивалентна нагруженному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Вопросы численного решения нагруженных функциональных уравнений в интегральной форме в литературе недостаточно изучены. В рамках данной работы установлены условия существования и единственности решений интегральных уравнений с локальными нагрузками. Построен коллокационный численный метод, основанный на аппроксимации решения полиномиальными сплайнами переменного порядка. Порядки многочленов, из которых составлен сплайн, определяются адаптивно и согласуются с максимальным шагом на каждом участке сетки узлов, которая, в свою очередь, строится с учетом распределения неизвестных нагрузок. В процессе дискретизации для определения коэффициентов системы уравнений интегралы аппроксимируются квадратурными суммами Гаусса и формируется общая система линейных алгебраических уравнений относительно всех неизвестных параметров сплайна. Доказана сходимость такой аппроксимации, приведен ряд численных результатов, подтверждающих эффективность предложенного подхода.

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, нагруженный оператор, существование решения, аппроксимация сплайнами, сходимость, оценка погрешности

Для цитирования: Тында А. Н., Вечкасов Д. Р. Численное и теоретическое исследование интегральных уравнений Вольтерра с локально нагруженным оператором // Журнал Средневолжского математического общества. 2026. Т. 28, № 1. С. 67–78. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.28.202601.67-78

Информация об авторах:

Тында Александр Николаевич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6023-9847, tyndaan@mail.ru

Вечкасов Данила Романович, магистрант кафедры высшей и прикладной математики ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), ORCID: https://orcid.org/0009-0004-8349-9173, vechkasov.danila@yandex.ru