И. В. Бойков¹, В. А. Руднев², А. И. Бойкова¹, Н. С. Степанов¹

¹Пензенский государственный университет (г. Пенза, Российская Федерация)

²Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург, Российская Федерация)

Аннотация. Дано обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и описано его применение для исследования прямых и обратных задач теории рассеяния. Непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений основан на Ляпуновской теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он применим к операторным уравнениям в банаховых пространствах, в том числе, и в случаях, когда производная Фреше (Гато) нелинейного оператора необратима в окрестности начального значения. В работе он применяется к решению задач Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца и для определения волнового числа в обратной задаче. Рассмотрены внутренние и внешние задачи Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца, определенного в областях с гладкими и кусочно- гладкими границами. В случае, когда уравнение Гельмгольца рассматривается в области с гладкой границей, существование и единственность решения следует из классической теории потенциала. При решении уравнения Гельмгольца в областях с кусочно гладкими границами проводится винеровская регуляризация. Задачи Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца методами теории потенциала трансформируются в сингулярные интегральные уравнения второго рода и в гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода. Для приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнения построены и обоснованы вычислительные схемы методов коллокации и механических квадратур. Особенности непрерывного метода иллюстрируются решением краевых задач для уравнения Гельмгольца. Рассмотрены приближенные методы восстановления волнового числа в уравнении Гельмгольца.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, граничные условия Дирихле и Неймана, обратные задачи, непрерывный метод решения операторных уравнений

Для цитирования: Бойков И. В., Руднев В. А., Бойкова А. И., Степанов Н. С. Применение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений к прямым и обратным задачам рассеяния // Журнал Средневолжского математического общества. 2021. Т. 23, № 3. С. 247–272. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202103.247–272

Информация об авторах:

Бойков Илья Владимирович, профессор, заведующий кафедрой «Высшая и прикладная математика», Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), доктор физико-математических наук, https://orcid.org/0000-0002-6980-933X, i.v.boykov@gmail.com

Руднев Владимир Александрович, доцент, кафедра «Вычислительная физика», Санкт-Петербургский государственный университет (199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9), доктор физико-математических наук, https://orcid.org/0000-0001-6451-5028, v.rudnev@spbu.ru

Бойкова Алла Ильинична, доцент, кафедра «Высшая и прикладная математика», Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), кандидат физико-математических наук, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0436-0460, allaboikova@mail.ru

Степанов Никита Сергеевич, студент, кафедра «Высшая и прикладная математика», Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, д. 40), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4146-9302, ctnik1998@mail.ru