УДК 517.926, 517.986
Об обратимости решений линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах
О. Е. Галкин1, С. Ю. Галкина2
| Аннотация | Работа посвящена изучению некоторых свойств линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах. В ней найдено (для некоторых типов банаховых алгебр), при какой правой части такого уравнения из обратимости начального условия следует обратимость его решения в любой момент времени. Рассматриваются (ассоциативные) банаховы алгебры над полем действительных или комплексных чисел. Правые части изучаемых уравнений имеют вид $\bigl[F(t)\bigr]\bigl(x(t)\bigr)$, где $\{F(t)\}$ — непрерывное относительно $t\in\mathbb{R}$ семейство ограниченных операторов на алгебре. Задача состоит в том, чтобы для заданной банаховой алгебры найти все непрерывные семейства ограниченных операторов на ней, сохраняющие обратимость элементов из алгебры. В данной статье эта задача решена лишь для трех случаев. В первом случае алгебра состоит из всех квадратных матриц заданного порядка. Для этой алгебры показано, что все непрерывные семейства операторов, сохраняющие обратимость элементов из алгебры в нуле, должны иметь вид $[F(t)](y) = a(t)\cdot y + y\cdot b(t)$, где семейства $\{a(t)\}$ и $\{b(t)\}$ также непрерывны. Во втором случае алгебра состоит из всех непрерывных функций на отрезке. Для этого случая показано, что все семейства операторов, сохраняющие обратимость элементов из алгебры в любой момент, должны иметь вид $[F(t)](y) = a(t)\cdot y$, где семейство $\{a(t)\}$ также непрерывно. К третьему случаю относятся те банаховы алгебры, в которых обратимы все ненулевые элементы. Например, этим свойством обладают алгебра комплексных чисел и алгебра кватернионов. В этом случае обратимость элементов из алгебры в любой момент сохраняют любые непрерывные семейства ограниченных операторов. Предлагаемое исследование соприкасается с исследованиями основ квантовой механики. Динамика квантовых наблюдаемых описывается уравнением Гейзенберга. Полученные результаты являются косвенным аргументом в пользу того, что известная форма уравнения Гейзенберга — единственно правильная. |
|---|---|
| Ключевые слова | линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка в банаховых алгебрах, сохранение обратимости решений |
1Галкин Олег Евгеньевич, доцент кафедры прикладной математики, ФГАОУ ВО « Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского» (603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23); лаборатория топологических методов в динамике, ФГАОУ ВО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физикоматематических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1634-7792, olegegalkin@ya.ru
2Галкина Светлана Юрьевна, доцент кафедры фундаментальной математики, ФГАОУ ВО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603155, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2476-2275, svetlana.u.galkina@mail.ru
Цитирование: Галкин О. Е., Галкина С. Ю. Об обратимости решений линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21, № 4. С. 430–442.
DOI 10.15507/2079-6900.21.201904.430-442
