С. В. Сидоров, Г. В. Уткин

ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.,И. Лобачевского» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Работа посвящена проблеме распознавания подобия матриц над кольцом целых чисел для некоторых семейств матриц. А именно, рассматриваются нильпотентные верхние треугольные матрицы максимального ранга, у которых только первая и вторая супердиагонали ненулевые. Получено несколько необходимых условий подобия таких матриц матрицам вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ с одной ненулевой супердиагональю (обобщение жордановой клетки $J_n(0)=\mathrm{superdiag}(1,1,\ldots,1)$). Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Результат получен посредством сведения задачи распознавания подобия к задаче решения в целых числах системы линейных уравнений и применения известных необходимых условий подобия для произвольных матриц. При некоторых дополнительных условиях на элементы $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ первой супердиагонали матрицы $A$ доказано, что $A$ подобна матрице $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ независимо от значений элементов второй супердиагонали. Кроме того, для рассматриваемых матриц третьего и четвёртого порядков получены легко проверяемые необходимые и достаточные условия подобия матрице вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$.

Ключевые слова: подобие матриц, жорданова форма, нормальная диагональная форма Смита, кольцо целых чисел, нильпотентная матрица

Для цитирования: Сидоров С. В., Уткин Г. В. О подобии над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц максимального ранга // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 4. С. 284–298. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202304.284-298

Информация об авторах:

Сидоров Сергей Владимирович, доцент кафедры алгебры, геометрии и дискретной математики, ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.,И. Лобачевского» (603022, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), кандидат физико-математических наук, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2883-6427, sesidorov@yandex.ru

Уткин Герман Владимирович, лаборант кафедры алгебры, геометрии и дискретной математики, ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.,И. Лобачевского» (603022, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4794-2591, german.utkingu@gmail.com