Е. Я. Гуревич, Е. К. Родионова

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Нижний Новгород, Российская Федерация)

Аннотация. Цель исследования — выделить класс каскадов (диффеоморфизмов) Морса-Смейла с трехмерным фазовым пространством, допускающих топологическую классификацию при помощи комбинаторных инвариантов. В общем случае препятствием к такой классификации является возможность дикого вложения замыканий сепаратрис в объемлющее многообразие, приводящая к счетному множеству топологически неэквивалентных систем уже в классе каскадов Морса-Смейла, имеющих всего одну седловую неподвижную точку. Для решения поставленной проблемы несущее многообразие диффеоморфизма представляется в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств: связных аттрактора и репеллера, размерность которых не превышает единицы, и дополнения к ним, состоящего из блуждающих точек диффеоморфизма, названного характеристическим множеством. Известно, что топология пространства орбит ограничения диффеоморфизма Морса-Смейла на характеристическое множество и вложения в него проекций двумерных сепаратрис является полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях. Кроме того, ранее описаны свойства пространства орбит, необходимые и достаточные для включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток. Эти результаты используются в настоящей работе, чтобы показать, что классы топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла, включающихся в топологический поток и не имеющих гетероклинических кривых, допускают комбинаторное описание. Более точно, в работе рассмотрен класс диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на замкнутых трехмерных многообразиях, включающихся в топологические потоки и не имеющие гетероклинических кривых. Каждому диффеоморфизму из этого класса поставлен в соответствие двухцветный граф, описывающий взаимное расположение двумерных сепаратрис седловых периодических точек. Доказано, что существование изоморфизма двухцветных графов, сохраняющего цвет ребер, является необходимым и достаточным условием топологической сопряженности каскадов. Показано, что скорость алгоритма, различающего двухцветные графы, полиномиально зависит от числа его вершин. Описан алгоритм построения представителя каждого класса топологической сопряженности.

Ключевые слова: диффеоморфизмы Морса-Смейла, топологическая классификация, структурно-устойчивые диффеоморфизмы, двухцветный граф, топологическая сопряженность

Для цитирования: Гуревич Е. Я., Родионова Е. К. Двухцветный граф каскадов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 2. С. 37–52. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202302.37-52

Информация об авторах:

Гуревич Елена Яковлевна, доцент кафедры фундаментальной математики, старший научный сотрудник лаборатории «Динамические системы и приложения», Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печёрская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0000- 0003-1815-3120, egurevich@hse.ru

Родионова Елена Константиновна, студент факультета информатики, математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (603150, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Большая Печёрская, д. 25/12), ORCID: https://orcid.org/0009-0004-2449-521X, ekrodionova@edu.hse.ru