УДК 517.956.6
О гладкости решения одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Соболева
С. З. Джамалов1
| Аннотация | В статье доказана однозначная разрешимость и гладкость решения одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Соболева $W\,_{2}^{\ell }(Q)$, ($2\le \ell $ -- целое число). Изучена однозначная разрешимость задач в пространстве $W_{2}^{2}(Q).$ Единственность решения нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода доказана методом априорных оценок. Далее для доказательства существования решения рассматриваемых задач в пространстве $W_{2}^{2}(Q)$ использован метод Фурье. Другими словами рассматриваемая задача сводится к изучению однозначной разрешимости решения нелокальной краевой задачи для бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка. Для однозначной разрешимости полученных задач был использован метод <<$\varepsilon$-регуляризации>>$,$ т. е. сначала изучена методами функционального анализа однозначная разрешимость решения нелокальной краевой задачи для бесконечного числа систем уравнений составного типа с малым параметром, затем получены необходимые априорные оценки для рассматриваемых задач. Используя полученные оценки для бесконечного числа систем уравнений составного типа с малым параметром, с помощью теоремы о слабой компактности предельным переходом получено решение для бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка. Далее с помощью равенства Стеклова-Парсеваля для решения бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка была получена однозначная разрешимость первоначальной задачи. В конце статьи изучен вопрос гладкости решения поставленной задачи |
|---|---|
| Ключевые слова | многомерное уравнение смешанного типа второго рода второго порядка, пространство Соболева, гладкость решения краевой задачи, нелокальная краевая задача |
1Джамалов Сирожиддин Зухриддинович, доцент, старший научный сотрудник отдела "Дифференциальные уравнения" Института математики Академии наук Республики Узбекистан (100170, Узбекистан, г. Ташкент, Академгородок, ул. Мирзо Улугбек, д. 81), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3925-5129, siroj63@mail.ru
Цитирование: Джамалов С. З. О гладкости решения одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Соболева // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21, № 1. С. 24–33.
DOI 10.15507/2079-6900.21.201901.24-33
