В. И. Никонов

ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарева» (г. Саранск, Российская Федерация)

Аннотация. Предлагается новый геометрический подход к исследованию частичной устойчивости линейных систем, основанный на применении геометрической теории линейных операторов. Привлекая теорию сопряженных пространств и сопряженных линейных операторов, строятся базисы, в которых исследуемая система принимает канонический вид. Рассматривается циклическое подпространство относительно сопряженного линейного оператора. Строится базис сопряженного пространства линейного оператора, в котором его матрица принимает канонический вид. Этому базису соответствует двойственный базис исходного линейного пространства. Тогда в паре базисов дуальных пространств, исследуемая система принимает наиболее простой вид. Реализация геометрических свойств системы осуществляется с помощью неособого линейного преобразования в пространстве части компонент фазового вектора системы. Это позволяет произвести декомпозицию исследуемой системы с целью получения необходимых и достаточных условий частичной устойчивости линейной системы. В эквивалентной системе выделяется независимая подсистема, характер устойчивости которой определяет поведение исследуемой компоненты фазового вектора исходной системы. Устанавливается взаимосвязь частичной устойчивости системы с существованием инвариантного подпространства линейного оператора, характеризующего динамику системы. Канонический вид полученной подсистемы позволяет легко исключить вспомогательные переменные и записать эквивалентное этой системе уравнение. Показано применение полученных результатов к решению задачи частичной устойчивости для линейных систем с постоянными коэффициентами из классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дискретных и систем с отклоняющимся аргументом. Приведен пример линейной системы дифференциальных уравнений, иллюстрирующий полученный результат.

Ключевые слова: частичная устойчивость, циклическое подпространство, минималный аннулирующий многочлен, сопряженное пространство

Для цитирования: Никонов В. И. К частичной устойчивости линейных систем относительно заданной компоненты фазового вектора // Журнал Средневолжского математического общества. 2021. Т. 23, № 1. С. 43–57. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202101.43–57

Информация об авторе:

Никонов Владимир Иванович, доцент кафедры алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарева» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7202-9679, nik_vl_@mail.ru