УДК 517.95
Об одной априорной оценке для эллиптического оператора второго порядка, вырождающегося вдоль оси координат, перпендикулярной к границе полуплоскости
Г. А. Смолкин1
| Аннотация | Вопросы разрешимости, свойств решений дифференциальных уравнений с частными производными и соответствующих краевых задач часто сводятся к априорным оценкам в пространствах С.Л. Соболева и их обобщений, исследованиям которых посвящены многочисленные работы ряда авторов. К ним относится и данная работа. В ней дается метод сведения оценок Соболевских норм, определенных в евклидовом полупространстве, к оценкам норм, определенных на всем евклидовом пространстве. В работе получено неравенство, левая часть которого является нормой производной второго порядка функции по нормали к границе полуплоскости, а правая -- линейной комбинацией норм образа, порождаемого действующим на эту функцию вырождающимся эллиптическим оператором, и следа функции на границе полуплоскости. В доказательстве неравенства использованы два продолжения функции из полуплоскости на всю плоскость. С помощью первого продолжения, подробно изученного Л.Н. Слободецким, имеющего производные до третьего порядка включительно, неравенство сводится к оценкам смешанных производных и производной четвертого порядка по касательному направлению к границе полуплоскости, которые получаются на основе второго продолжения -- дважды дифференцируемой функции. Полученные результаты можно распространить на более широкий класс операторов, они могут быть применены при изучении краевых задач для вырождающихся эллиптических и квазиэллиптических операторов. |
|---|---|
| Ключевые слова | преобразование Фурье, пространства С.Л. Соболева, априорные оценки, вырождающийся эллиптический оператор, продолжение функции. |
1Смолкин Георгий Александрович, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО "МГУ им. Н. П. Огарёва" (430005, Россия, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68.), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/https://orcid.org/0000-0001-5964-9814, smolkinga@yandex.ru
Цитирование: Смолкин Г. А. Об одной априорной оценке для эллиптического оператора второго порядка, вырождающегося вдоль оси координат, перпендикулярной к границе полуплоскости // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19, № 3. С. 64–72.
DOI 10.15507/2079-6900.19.201703.64-72
