О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей
М. В. Долов1, Е. В. Круглов2
| Аннотация | В работе рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение $P(x,y)dy-Q(x,y)dx=0$, где $P$, $Q$ -- взаимно простые полиномы степени не менее двух, коэффициенты которых, как и переменные $x$, $y$, в общем случае комплексные. Для данного уравнения доказано, что если реализуется ситуация, когда рассматриваемое уравнение имеет бесконечное число линейных частных интегралов, то полиномы $P$, $Q$ не могут быть взаимно простыми. Основной результат работы содержит точную оценку числа различных линейных частных интегралов; оценку числа линейных интегралов в случае, когда инвариантные множества, соответствующие линейным интегралам, не имеют общих точек; оценку числа линейных интегралов в случае, когда они имеют общую особую точку. Метод доказательства существенно использует исходное предположение о том, что полиномы $P$, $Q$ являются взаимно простыми. Приведен пример, иллюстрирующий полученный результат. |
|---|---|
| Ключевые слова | полиномиальные векторные поля, линейные частные интегралы, дифференциальные уравнения |
1Доктор физико-математических наук, профессор, Почетный работник ННГУ им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород
2Доцент кафедры математического моделирования экономических процессов ННГУ им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород; kruglov19@mail.ru.
Цитирование: Долов М. В., Круглов Е. В. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18, № 1. С. 27–30.
